Which “mean” to use and when? - Cross Validated 介绍了三种平均数使用的方式。 如果skew严重，建议使用中位数。 否则我们来讨论三种的方式的数学：逻辑。
数学：逻辑
假设我们使用$x_i = y_i$，我们计算$\bar y = \frac{1}{n}\sum y_i$，然后用$\bar y \to \bar x$，这就是算数平均数。
假设我们使用$\log(x_i) = y_i$，我们计算$\bar y = \frac{1}{n} \sum y_i$，然后用$\bar y \to \log(\bar x)$， 然后
$$\begin{alignat}{2} \bar x & = e^{\bar y } \ & = e^{\frac{1}{n} \sum y_i} \ & = e^{\frac{1}{n} \sum \log{x_i}} \ & = (x_1 \cdots x_n)^{\frac{1}{n}} \end{alignat}$$
这就是几何平均数。 跟形象的例子，参考
假设我们使用$\frac{1}{x_i} = y_i$，我们计算$\bar y = \frac{1}{n} \sum y_i$，然后用$\bar y \to \frac{1}{\bar x})$， 然后
$$\begin{alignat}{2} \bar x & = \frac{1}{\bar y} \ & = \frac{1}{\frac{1}{n}\sum y_i} \ & = \frac{1}{\frac{1}{n}\sum \frac{1}{x_i}}\ & = \frac{n}{\sum{\frac{1}{x_i}}} \end{alignat}$$
这就是调和平均数。
总结，因此我们主要假设
$$x_i \xrightarrow{f(x_i)} y_i \xrightarrow{\bar y = \frac{1}{n}\sum y_i} \bar y \xrightarrow{f^{-1}(y_i)}\bar x$$
一般来说，$\forall x_i > 0$，那么$HM < GM < AM$ ($调和 < 几何 < 算数$)
物理逻辑
我们知道$d = v \times t$ 我们实验n次，假设每次d不变，
$$\begin{alignat}{2} d = d_i & = v_i \times t_i \ \sum_{i=1}^n d = \sum_{i=1}^n d_i & = \sum_{i=1}^n v_i \times t_i \ \to nd & = \sum_{i=1}^n \bar v \times t_i \ \bar v & = \frac{nd}{\sum_{1=i}^n t_i} \ & = \frac{n}{\sum_{1=i}^n\frac{1}{\frac{d}{t_i}}} \ & = \frac{n}{\sum_{1=i}^n\frac{1}{v_i}} \ \end{alignat}$$
同样地，假设时间不变， 那么推出来就是算数平均数。