{r setup, include=FALSE} knitr::opts_chunk$set(eval = FALSE) {r message=FALSE, warning=FALSE, include=FALSE} library(tidyverse) library(modelr)
很老的笔记，总结一下。
供需求函数
$$\begin{cases} q_t^D &= \alpha_0 + \alpha_1 p_t + u_t\ q_t^S &= \beta_0 + \beta_1 p_t + v_t\ q_t^D &= q_t^S\ \end{cases}$$
这是供需求函数，我们肯定不能直接用$q_t = \alpha_0 + \alpha_1 p_t + u_t$去跑回归。 因为我们首先不知道这是代表供给还是需求函数，实际上谁也不是。
$$\begin{cases} q_t &= \alpha_0 + \alpha_1 p_t + u_t \ q_t &= \beta_0 + \beta_1 p_t + v_t \ \end{cases}$$
解得：
$$\begin{alignat}{2} p_t &= \frac{\beta_0-\alpha_0}{\beta_1-\alpha_1} + \frac{v_t-u_t}{\beta_1-\alpha_1}\ p_t &\sim v_t,u_t\ \end{alignat}$$
我们知道，当$x$和$\mu$线性相关，$x$就是内生了[@陈强]。
这个时候我们需要引入 工具变量，假设是天气$x_t$。
工具变量的两个条件：
- 在供给方程中，天气影响$p_t$的，因此$Cov(p_t,x_t) \neq 0$1。
- $x_t$和$u_t,v_t$都不像相关，天气是外生的，除了自身，不受到其他变量决定。
重新写供给函数
$$\begin{cases} q_t^S &= \beta_0 + \beta_1 p_t + \beta x_t + v_t\ q_t^S &= \beta_0 + \beta_1 p_t \xleftarrow{\rho > 0} \beta x_t \xrightarrow{\times} v_t\ \end{cases}$$
所以，
这里涉及到 2SLS
第一步，
$$\begin{alignat}{2} p_t &= \gamma_0 + \gamma_1 x_t + \delta_t\ p_t &= \hat{p_t}(x_t) + \hat{\delta}_t\ \end{alignat}$$
第二步，
$$\begin{cases} q_t &= \alpha_0 + \alpha_1 \hat{p_t} + u_t + \alpha_1 (p_t - \hat{p_t}) \ q_t &= \beta_0 + \beta_1 \hat{p_t} + v_t + \beta_1 (p_t - \hat{p_t}) \ \end{cases}$$
$$\begin{cases} q_t &= \alpha_0 + \alpha_1 (\hat \gamma_0 + \hat \gamma_1 x_t) + u_t + \alpha_1 (p_t - \hat{p_t}) \ q_t &= \beta_0 + \beta_1 (\hat \gamma_0 + \hat \gamma_1 x_t) + v_t + \beta_1 (p_t - \hat{p_t}) \ \end{cases}$$
然后就可以回归了。
矩估计
- 一矩：$E(x) = \mu$
- 二矩：$E(x^2) = Var(x) + E^2(x) = \sigma^2 + \mu^2$
如果我们假设$x \sim N(\mu,\sigma)$，有两个未知数，因此我们需要两个假设，$\mu$和$\sigma$，并使用两个方程去估计，就是我们的矩。 通常我们用样本矩来猜测，
$$\begin{cases} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i = \hat \mu\ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^2 = \hat{\mu}^2 + \hat{\sigma}^2\ \end{cases}$$
因此任意的$f(x)$都可以叫做矩估计。
这里我们使用第二个假设，
$$\begin{alignat}{2} E(z_i \epsilon_i) &= 0\ E(z_i (y_i - x_i^{’} \beta)) &= 0\ E(z_i y_i)&= E(z_i x_i^{’}) \cdot \beta\ E(z_i x_i^{’})^{-1} E(z_i y_i)&= \beta\ \end{alignat}$$
我们用样本估计，来估计总体估计！！！
$$\begin{alignat}{2} E(z_i x_i^{’})^{-1} E(z_i y_i)&= \beta\ \hat \beta &= (\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n z_i x_i^{’})^{-1} (\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n z_i y_i)\ \hat \beta &= (z_i x_i^{’})^{-1}(z_i y_i)\ \end{alignat}$$
样本矩除了$E(\beta)$，还有$Var(\beta)$要估计。
$$\begin{alignat}{2} \hat \beta - \beta &= (z_i x_i^{’})^{-1}z_i(x^{’}\beta+\epsilon) - \beta\ \hat \beta - \beta &= (z_i x_i^{’})^{-1}z_ix^{’}\beta+(z_i x_i^{’})^{-1}z_i \epsilon - \beta\ \hat \beta - \beta &= \beta+(z_i x_i^{’})^{-1}z_i \epsilon - \beta\ \hat \beta - \beta &= (z_i x_i^{’})^{-1}z_i \epsilon\ \hat \beta - \beta &= (\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n z_i x_i^{’})^{-1}(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n z_i \epsilon_i)\ \hat \beta - \beta &= S_{ZX}^{-1} \bar g\ \end{alignat}$$
这里假设$S_{ZX}^{-1} = (\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n z_i x_i^{’})^{-1}$、 $\bar g = (\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n z_i \epsilon_i)$。
因此用样本估计估计总体估计时， 我们假设在大样本的情况下，
$S_{ZX}^{-1} \bar g \xrightarrow{大样本} E(S_{ZX}^{-1} \bar g) = E(S_{ZX}^{-1})E(\bar g) = E(S_{ZX}^{-1}) \cdot 0 = 0$
注意这里$E(S_{ZX}^{-1})$是一个数，所以可以分离。
所以$E(\hat \beta - \beta) = 0 \to E(\hat \beta) = \beta$
$$\begin{alignat}{2} Avar(\hat \beta) &= E((\hat \beta - \beta)^2)\ &=E((S_{ZX}^{-1} \bar g)^2)\ \cdots \end{alignat}$$
这里有比较简单的推导方法。
第一个方程是 $$\begin{alignat}{2} x &\sim z\ \hat \gamma &= (z^{’}z)^{-1}z^{’}x\ \hat x &= z \hat \gamma\ &=z[(z^{’}z)^{-1}z^{’}x]\ &=[z(z^{’}z)^{-1}z^{’}]x &=px\ \end{alignat}$$
同理 $$\begin{alignat}{2} \hat \beta &= (\hat x \hat x)^{-1}\hat x y\ \hat \beta &= (x^{’}P^{’}Px)^{-1}\hat x y\ \hat \beta &= (x^{’}Px)^{-1}\hat x y\ \hat \beta &= (x^{’}\hat x)^{-1}\hat x y\ \hat \beta &= (zx)^{-1}zy\ \end{alignat}$$
full rank 就是矩估计的条件
能够作为工具变量的变量数量不能少于内生变量的数量。
弱工具变量检验
Shea’s partial $R^2$
假设$y = x_1^{’} \beta_1 + x_2 \beta_2 + \mu$，其中只有$x_2$是内生的，工具变量为$z_2$。 做回归 $x_2 \sim x_1^{’} \to e_1$和$z_2 \sim x_1^{’} \to e_2$。 其中$e_1$和$e_2$分别衡量了$x_2$和$z_2$除了$x_1^{’}$以外的其他波动。 再做$e_1 \sim e_2 \to R_p^2$，如果$R_p^2$大，说明不是弱工具变量。
过度识别检验
$z$的数量超过内生的$x$数量。 只有这样$E(z\epsilon)=0$，否则不满足 因此，我们假设有K个$x$，r个是内生的，$z$有 m个，因此回归，
$$\epsilon \sim x_1 + \cdots + x_{K-r} + z_1 + \cdots z_m + error$$ 如果得到的$R^2$大，或者说$nR^2$比较于$\Theta^2(m-r)$而大的话，那么$E(z\epsilon)=0$的条件就不满足了。 因此要求$R^2$尽可能低，即P值要小。
GMM
GMM是过度识别的时候使用，因为$n(x) < n(z)$。 这个时候$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n z_i(y_i-x^{’} \hat \beta)$不能等于0了，无解，但是可以使其平方最小。
一步还是两步
一步是满足同方差假设的，所以还是用两步吧。
弱工具变量容易有偏
$$y = 1 + 2x + \mu$$
强工具变量
$$x = 0.5z + 0.2\mu + 0.1v$$
弱工具变量
$$x = 0.01z + 0.2\mu + 0.1v$$
```{r} library(tidyverse) beta_cb1 <- 1:100 beta_cb2 <- 1:100 a <- data_frame( mu = rnorm(100), v = rnorm(100), z = rnorm(100) ) for (i in 1:100){
b <- as.data.frame(resample_bootstrap(a)) %>% mutate( x1 = 0.5z + 0.2mu + 0.1v, x2 = 0.01z + 0.2mu + 0.1v, y1 = 1 + 2x1 + mu, y2 = 1 + 2x2 + mu ) %>% summarise( beta1 = sum(zy1)/sum(zx1), beta2 = sum(zy2)/sum(zx2) ) beta_cb1[i] <- b[1,1] beta_cb2[i] <- b[1,2] } data_frame( beta1 = beta_cb1 %>% unlist(), beta2 = beta_cb2 %>% unlist() ) %>% gather() %>% ggplot(aes(x = value, y = ..density..,col = key)) + geom_freqpoly() + labs( x = “预测的beta值，真实为2”, y = “频率”, subtitle = “弱工具变量在小样本下很容易不对称，有偏”, title = “弱工具变量比较 ) + theme_minimal() + theme(text = element_text(family =“STKaiti”)) ```