树模型驱动的规划新范式：EATBoost 多输出算法解析

1. 节点分裂：多输出 MSE 总和驱动的树模型决策

树模型的核心是 “如何选择分裂点”，EATBoost 针对多输出场景，将传统单输出 MSE 分裂准则扩展为多输出 MSE 总和，确保分裂决策兼顾所有输出维度的规划需求（Guillen et al., 2023）。

对于待分裂节点$t$，算法会遍历所有输入维度$i$与阈值$s_i$，选择使左右子节点总误差最小的分裂方案，公式如下：

$R\left(t_L\right)+R\left(t_R\right)=\frac{1}{n}{\sum }_{r=1}^s\left[{\sum }_{(x_j,y_j)\in t_L}\right(y_{jr}-y_r\left(t_L\right){)}^2+{\sum }_{(x_j,y_j)\in t_R}(y_{jr}-y_r(t_R\left){)}^2\right]$

其中，$s$为输出维度数，$y_{jr}$是第$j$个样本的第$r$个输出值，$y_r\left(t_L\right)$/$y_r\left(t_R\right)$是左右子节点对第$r$ 个输出的初始估计（节点内该输出的最大值）。

这一设计的优势在于：树模型的分裂逻辑不再依赖单一输出，而是通过 “总误差最小” 实现多输出目标的协同规划，避免因忽视某一输出而导致的规划偏差。例如，在制造业多产品生产规划中，算法可同时考虑 “产品 A 产量” 与 “产品 B 合格率” 的误差，确保分裂后的子节点能更精准反映不同输入组合下的多输出边界。

2. 基础学习器：EAT 树的多维伪残差拟合

EATBoost 以效率分析树（EAT） 作为基础学习器，替代传统梯度树提升中的分类回归树（CART），使其能处理多输出场景下的 “规划误差更新” 问题（Guillen et al., 2023）。

在迭代过程中，每次训练前会计算多维伪残差向量—— 即每个样本在各输出维度上的 “规划偏差”，公式为：

$e_{j,q}=(y_{j1}-f_{1,q-1}(x_j),y_{j2}-f_{2,q-1}(x_j),...,y_{js}-f_{s,q-1}(x_j\left)\right)$

其中，$f_{r,q-1}\left(x_j\right)$是前一轮模型对第$r$个输出的规划估计值。

EAT 树会以该多维向量为目标变量进行训练，最终每个叶子节点输出一个$s$维更新系数向量${\gamma }_{h,q}=({\gamma }_{h,q,1},{\gamma }_{h,q,2},...,{\gamma }_{h,q,s})$。这一步的本质是：通过树模型的局部拟合能力，为不同输入区域的多输出规划提供 “个性化偏差修正”，使每轮迭代后的规划前沿更贴近真实生产边界。

3. 叶子节点输出：树模型与生产公理的对齐

规划算法的核心是 “满足理论公理”，EATBoost 通过定制化 EAT 树的叶子节点输出，确保每个输出维度单独符合自由处置性与确定性（Guillen et al., 2023）。

对于每个叶子节点$t$，其第$r$个输出的规划值需满足 “帕累托支配关系”—— 即该值需大于节点内该输出的最大观测值，同时大于所有 “输入更少但输出可能更高” 的支配节点的输出值，公式为：

$y_r\left(t\right)=max\left\{{max}_{(x_j,y_j)\in t}\right\{y_{jr}\},{max}_{t^{\prime }\in I_T\left(t\right)}\{y_r\left(t^{\prime }\right)\left\}\right\}$

其中，$I_T\left(t\right)$是 “输入帕累托支配$t$的节点集合”（存在$x^{\prime }\in R_{t^{\prime }}$、$x\in R_t$使$x^{\prime }\le x$的节点$t^{\prime }$）。

这一设计让树模型的叶子节点成为 “公理合规的规划单元”：每个叶子节点的输出不仅是局部数据的拟合结果，更是符合生产理论的 “可行边界估计”。例如，在物流配送规划中，某叶子节点对应 “运输成本 5 万元 + 配送人员 10 人” 的输入组合，其输出 “配送量” 的规划值会确保：即使成本增加或人员减少，配送量仍不会超过该规划值，严格满足自由处置性。

1. 损失函数调整：加权 MSE 的树模型适配

只需将多输出 MSE 总和替换为加权 MSE 总和，即可让树模型的分裂决策向高权重输出倾斜，公式为：

$L_{weighted}=\frac{1}{n}{\sum }_{r=1}^s{w}_r{\sum }_{j=1}^n(y_{jr}-{\hat{y}}_{jr}{)}^2$

其中，$w_r$是第$r$个输出的权重（满足${\sum }_{r=1}^s{w}_r=1$）。

例如，在新能源企业规划中，若 “光伏发电量” 权重为 0.6，“风电发电量” 权重为 0.4，树模型在分裂时会优先降低光伏发电量的误差，使规划前沿更贴合企业的核心产能目标。这种调整完全兼容 EATBoost 的树模型逻辑，且不破坏生产公理 —— 每个输出维度的叶子节点值仍单独满足自由处置性与确定性。

2. 效率测度扩展：非径向测度与树模型结合

树模型的灵活性还体现在 “与非径向效率测度的适配” 上（Guillen et al., 2023）。传统径向测度假设所有输出等比例改进，而非径向测度（如方向距离函数）可通过设定 “方向向量”，实现不同输出的差异化改进规划 —— 这本质是通过向量权重调整树模型的规划优先级。

例如，设定方向向量为$(0.8,0.2)$，对应 “产品 A 产量优先改进 80%，产品 B 产量优先改进 20%”，EAT 树在拟合伪残差时会围绕该向量优化，使叶子节点的输出更新更符合企业的战略规划目标。这种扩展进一步证明：树模型为规划算法提供了 “可定制化” 的框架，能灵活应对不同场景的需求。