事件、概率的分析

\[P(D \text{ is true}|H_0 \text{ is true}) \neq P(H_0 \text{ is true}|D \text{ is true})\]

参考石川,Harvey (2017)。 假设原假设\(H_0\)和备择假设\(H_1\)，发生事件是\(D\)。 p值等于 \(H_0 \text{ is true}\)的情况下，\(D\)发生的概率。 即： \(P(D \text{ is true}|H_0 \text{ is true})\)。 并非\(P(H_0 \text{ is true}|D \text{ is true})\)， 当我们观测到\(D\)发生时，\(H_0\)为真的概率。 但是这本身是我们想要的，\(D\)相当于解释变量，\(H_0\)相当于被解释变量。

两者不同，在贝叶斯公式我们就可以清楚的知道，这里举一个极端的例子。 一个人上班，设为\(H\)，这个人坐电梯，设为\(D\)。 我们知道一个人因为上班\(H\)而坐电梯\(D\)的概率\(P(D \text{ is true}|H \text{ is true})\)很高，比如0.9； 但是 我们知道一个人因为坐电梯\(D\)而上班\(H\)的概率\(P(H \text{ is true}|D \text{ is true})\)就不一定那么高了，很可能是回家。 因此两者是不同的。¹

再举一个例子， 我们假设一个因子\(D\)可以实现超额收益\(H_1\)， 那么我们的原假设\(H_0 \text{: 因子不产生超额收益}\)。

\[\text{p-value} = P(D \text{ is true}|H_0 \text{ is true})\]

\(\text{p-value}\)越小越好。 但是实际上我们想知道的是\(P(H_0 \text{ is true}|D \text{ is true})\)，即因子\(D\)存在时， \(H_0 \text{ is true}\)有超额收益。²

Bayesianized p-value

\[\text{MBF (minimum Bayes factor)} = \frac{\log(\frac{1}{\text{p-value}}) \cdot \text{p-value}}{e} \sim \text{p-value} \sim P(D|H_0)\]

\[\text{prior odds} = \frac{P(H_0)}{P(H_1)} \sim P(H_0)\]

\[\text{MBF} \times \text{prior odds} \sim P(D|H_0) \cdot P(H_0) \sim P(D) \sim P(H_0|D) \to \text{我们想要的}\]

\[\text{Bayesianized p-value} = \frac{\text{MBF} \times \text{prior odds}}{1+\text{MBF} \times \text{prior odds}}\]

\(\text{prior odds}\)作为先验概率，如果很小，即\(P(H_0)\)很小，那么\(P(H_0|D)\)也应该小，\(\text{Bayesianized p-value}\)小，这样make sense。

直观理解，\(P(H_0)\)小也会影响\(\text{Bayesianized p-value}\)小，也能帮助推断。

举例:

• 第一个例子：有一个音乐家声称可以完美的区分莫扎特和海顿的乐谱。我们将 10 张乐谱给他辨识，他全部正确。
• 第二个例子：有一个常年喝茶的老妇人，她声称可以说出一杯加了奶的热茶中，奶是先于茶还是后于茶加入杯中的。同样，我们将 10 杯请她辨识，她全部正确。
• 第三个例子：有一个酒馆老板，号称酒精赐予他预测未来的神力。我们让他猜扔硬币的正反面，结果他也是 10 次全对。

分别的\(H_0\)都是不能区分，但是显然

• 第一个\(P(H_0)\)很高，因为是音乐家\(\to \text{Bayesianized p-value 高}\)
• 第二个\(P(H_0)\)可以，因为是常年喝茶\(\to \text{Bayesianized p-value 可以}\)
• 第三个\(P(H_0)\)不高，因为感觉像骗子\(\to \text{Bayesianized p-value 不高}\)