事件、概率的分析

$$P\left(D\text{is true}|H_0\text{is true}\right)\ne P\left(H_0\text{is true}|D\text{is true}\right)$$

参考石川,Harvey (2017)。 假设原假设$H_0$和备择假设$H_1$，发生事件是$D$。 p值等于 $H_0\text{is true}$的情况下，$D$发生的概率。 即： $P\left(D\text{is true}|H_0\text{is true}\right)$。 并非$P\left(H_0\text{is true}|D\text{is true}\right)$， 当我们观测到$D$发生时，$H_0$为真的概率。 但是这本身是我们想要的，$D$相当于解释变量，$H_0$相当于被解释变量。

两者不同，在贝叶斯公式我们就可以清楚的知道，这里举一个极端的例子。 一个人上班，设为$H$，这个人坐电梯，设为$D$。 我们知道一个人因为上班$H$而坐电梯$D$的概率$P\left(D\text{is true}|H\text{is true}\right)$很高，比如0.9； 但是 我们知道一个人因为坐电梯$D$而上班$H$的概率$P\left(H\text{is true}|D\text{is true}\right)$就不一定那么高了，很可能是回家。 因此两者是不同的。¹

再举一个例子， 我们假设一个因子$D$可以实现超额收益$H_1$， 那么我们的原假设$H_0\text{: 因子不产生超额收益}$。

$$\text{p-value}=P\left(D\text{is true}|H_0\text{is true}\right)$$

$\text{p-value}$越小越好。 但是实际上我们想知道的是$P\left(H_0\text{is true}|D\text{is true}\right)$，即因子$D$存在时， $H_0\text{is true}$有超额收益。²

Bayesianized p-value

$$\text{MBF (minimum Bayes factor)}=\frac{\log \left(\frac{1}{\text{p-value}}\right)\cdot \text{p-value}}{e}\sim \text{p-value}\sim P\left(D|H_0\right)$$

$$\text{prior odds}=\frac{P\left(H_0\right)}{P\left(H_1\right)}\sim P\left(H_0\right)$$

$$\text{MBF}\times \text{prior odds}\sim P\left(D|H_0\right)\cdot P\left(H_0\right)\sim P\left(D\right)\sim P\left(H_0|D\right)\to \text{我们想要的}$$

$$\text{Bayesianized p-value}=\frac{\text{MBF}\times \text{prior odds}}{1+\text{MBF}\times \text{prior odds}}$$

$\text{prior odds}$作为先验概率，如果很小，即$P\left(H_0\right)$很小，那么$P\left(H_0|D\right)$也应该小，$\text{Bayesianized p-value}$小，这样make sense。

直观理解，$P\left(H_0\right)$小也会影响$\text{Bayesianized p-value}$小，也能帮助推断。

举例:

• 第一个例子：有一个音乐家声称可以完美的区分莫扎特和海顿的乐谱。我们将 10 张乐谱给他辨识，他全部正确。
• 第二个例子：有一个常年喝茶的老妇人，她声称可以说出一杯加了奶的热茶中，奶是先于茶还是后于茶加入杯中的。同样，我们将 10 杯请她辨识，她全部正确。
• 第三个例子：有一个酒馆老板，号称酒精赐予他预测未来的神力。我们让他猜扔硬币的正反面，结果他也是 10 次全对。

分别的$H_0$都是不能区分，但是显然

• 第一个$P\left(H_0\right)$很高，因为是音乐家$\to \text{Bayesianized p-value 高}$
• 第二个$P\left(H_0\right)$可以，因为是常年喝茶$\to \text{Bayesianized p-value 可以}$
• 第三个$P\left(H_0\right)$不高，因为感觉像骗子$\to \text{Bayesianized p-value 不高}$