三种平均数使用的方式 学习笔记

数学逻辑

假设我们使用$x_i=y_i$，我们计算$\overline{y}=\frac{1}{n}\sum y_i$，然后用$\overline{y}\to \overline{x}$，这就是算数平均数。

假设我们使用$\log \left(x_i\right)=y_i$，我们计算$\overline{y}=\frac{1}{n}\sum y_i$，然后用$\overline{y}\to \log \left(\overline{x}\right)$， 然后

$$\begin{array}{cc}\overline{x}& =e^{\overline{y}}\\ & =e^{\frac{1}{n}\sum y_i}\\ & =e^{\frac{1}{n}\sum \log x_i}\\ & =(x_1\cdots x_n{)}^{\frac{1}{n}}\end{array}$$

这就是几何平均数。 跟形象的例子，参考

假设我们使用$\frac{1}{x_i}=y_i$，我们计算$\overline{y}=\frac{1}{n}\sum y_i$，然后用$\overline{y}\to \frac{1}{\overline{x}})$， 然后

$$\begin{array}{cc}\overline{x}& =\frac{1}{\overline{y}}\\ & =\frac{1}{\frac{1}{n}\sum y_i}\\ & =\frac{1}{\frac{1}{n}\sum \frac{1}{x_i}}\\ & =\frac{n}{\sum \frac{1}{x_i}}\end{array}$$

这就是调和平均数。

总结，因此我们主要假设

$$x_i\stackrel{f\left(x_i\right)}{\to }{y}_i\stackrel{\overline{y}=\frac{1}{n}\sum y_i}{\to }\overline{y}\stackrel{f^{-1}\left(y_i\right)}{\to }\overline{x}$$

一般来说，$\forall x_i>0$，那么$HM<GM<AM$ ($调和<几何<算数$)

物理逻辑

我们知道$d=v\times t$ 我们实验n次，假设每次d不变，

$$\begin{array}{cc}d=d_i& =v_i\times t_i\\ \sum _{i=1}^{n}d=\sum _{i=1}^n{d}_i& =\sum _{i=1}^n{v}_i\times t_i\\ \to nd& =\sum _{i=1}^n\overline{v}\times t_i\\ \overline{v}& =\frac{nd}{{\sum }_{1=i}^n{t}_i}\\ & =\frac{n}{{\sum }_{1=i}^n\frac{1}{\frac{d}{t_i}}}\\ & =\frac{n}{{\sum }_{1=i}^n\frac{1}{v_i}}\end{array}$$

同样地，假设时间不变， 那么推出来就是算数平均数。