学习计量经济学的核心笔记：基于 Wooldridge《Introductory Econometrics》

1. MLR 的核心性质与边际效应

• 模型形式与矩条件：MLR 的一般形式为$y={\beta }_0+X\beta +u$，其中$X$为自变量矩阵，$\beta$为系数向量；其条件期望为$E\left(y|X\right)={\beta }_0+X\beta$，条件方差为$V\left(y|X\right)=V\left(u|X\right)$，这意味着$y$的变异仅由误差项决定（Wooldridge, 2012）。
• 无偏性与一致性：若满足 MLR.1-MLR.4，系数估计具有无偏性（$E\left({\hat{\beta }}_j\right)={\beta }_j$）；大样本下，即使存在小样本偏误，估计仍具有一致性（$\text{plim}{\hat{\beta }}_j={\beta }_j$）（Wooldridge, 2012）。
• 交互项的边际效应：当模型含交互项（如$y={\beta }_0+{\beta }_1{x}_1+{\beta }_2{x}_2+{\beta }_3{x}_1{x}_2$）时，$x_1$对$y$的边际效应为$\partial y/\partial x_1={\beta }_1+{\beta }_3{x}_2$，即边际效应依赖$x_2$的取值，需结合具体场景解读（Wooldridge, 2012）。

2. 虚拟变量：处理分类变量的关键工具

在实证研究中，分类变量（如性别、政策实施与否）需通过 “虚拟变量” 转化为计量模型可处理的形式。Wooldridge 指出，虚拟变量的核心价值是 “衡量分类状态变化对因变量均值的影响”，具体包括：

• 核心作用：当虚拟变量$\Delta x=1$（其他变量固定）时，其系数直接反映因变量均值的变化，即 “平均处理效应”（Wooldridge, 2012）。

• SLR 中的虚拟变量系数：若$D_f$为虚拟变量（如 “是否为女性”，1 = 是，0 = 否），$W$为因变量（如工资），则系数计算公式为：

  ${\hat{\beta }}_1=\frac{\sum D_{f}W-{\overline{D}}_f\cdot n\overline{W}}{\sum D_f^2-n{\overline{D}}_f^2}$

  其中${\overline{D}}_f$、$\overline{W}$分别为$D_f$和$W$的均值，$n$为样本量（Wooldridge, 2

• 对数形式的解读：若因变量为对数形式（$\log \left(y\right)={\beta }_0+{\beta }_{1}x$，$x$为虚拟变量），则${\beta }_1$的解释为，当$x$从 0 到 1 时，$y$的近似百分比变化为$100\times {\hat{\beta }}_1$，更精确的百分比变化为$100\times \left[\exp \right({\hat{\beta }}_1)-1]$，这是实证研究中解读分类变量影响的常用方法（Wooldridge, 2012）。

1. 异方差性：识别与修正

异方差（误差项方差随自变量变化）会导致标准误偏误，需通过以下步骤处理：

• 检验方法：

  • BP 检验（Breusch-Pagan Test）：对残差平方${\hat{u}}^2$做回归（${\hat{u}}^2={\gamma }_0+{\gamma }_1{x}_1+\cdots +{\gamma }_q{x}_q+v$），用$F$统计量或${\chi }^2\left(q\right)$分布的$LM$统计量检验（$q$为自变量个数），R 中可通过 bptest(fit)实现（Wooldridge, 2012）。
  • White 检验：在 BP 检验基础上加入自变量的平方项和交叉项（${\hat{u}}^2={\gamma }_0+{\gamma }_1{x}_1+\cdots +{\gamma }_m{x}_i{x}_j+v$），无需预设异方差形式，适用性更广，R 中可通过 white.test(fit)实现（Wooldridge, 2012）。

• 解决方法：

  • 短期方案：使用异方差稳健标准误（如 White 稳健标准误），无需改变估计方法，仅修正标准误（Wooldridge, 2012）。
  • 长期方案：加权最小二乘法（WLS），权重$h$需与误差项方差负相关，常用拟合值推导的${\hat{h}}_i$作为权重，虽有偏但具有一致性（Wooldridge, 2012）。

2. 内生性：工具变量（IV）的应用

内生性（自变量与误差项相关）是计量分析的 “顽疾”，其来源包括遗漏变量、联立因果、自变量测量误差。Wooldridge 指出，工具变量（IV） 是解决内生性的核心工具，其应用需满足两个关键假设：

1. 相关性：工具变量$z$与内生自变量$x$强相关（$\text{cov}(z,x)\ne 0$）；
2. 外生性：工具变量$z$与误差项$u$不相关（$\text{cov}(z,u)=0$）（Wooldridge, 2012）。

IV 估计的一致性可通过公式验证：

$\text{plim}{\hat{\beta }}_{1,IV}={\beta }_1+\frac{\text{cov}(z,u)}{\text{cov}(z,x)}={\beta }_1$

因$\text{cov}(z,u)=0$，故 IV 估计能收敛到真实系数${\beta }_1$，具体估计公式为${\hat{\beta }}_{1,IV}=\frac{\text{cov}(z,y)}{\text{cov}(z,x)}$（Wooldridge, 2012）。

书中以 “教育对工资的影响” 为例，提出 “兄弟姐妹数量（$sibs$）” 可作为教育（$educ$）的 IV—— 兄弟姐妹越多，教育年限通常越低（满足相关性），且兄弟姐妹数量与个人能力（遗漏变量）不相关（满足外生性）（Wooldridge, 2012）。

3. 回归有效性检验：测量误差与模型适配

• 因变量测量误差（EDV）：若真实因变量$y^{\ast }={\beta }_0+{\beta }_{1}x+u$，观测值$y=y^{\ast }+e$（$e$为测量误差），则模型变为$y={\beta }_0+{\beta }_{1}x+(u+e)$。若$\text{cov}(x,e)=0$，仅会增大误差项方差，不影响估计的无偏性（Wooldridge, 2012）。

• 自变量测量误差（EIV）：若真实自变量$x^{\ast }={\beta }_0+{\beta }_1{x}^{\ast }+u$，观测值$x=x^{\ast }-e$（$e$为测量误差），则模型变为$y={\beta }_0+{\beta }_{1}x+(u-{\beta }_{1}e)$。此时 OLS 估计会出现 “衰减偏误”，概率极限为：

  $\text{plim}{\hat{\beta }}_1={\beta }_1\cdot \frac{{\sigma }_{x^{\ast }}^2}{{\sigma }_{x^{\ast }}^2+{\sigma }_e^2}$

  其中${\sigma }_{x^{\ast }}^2$为$x^{\ast }$的方差，${\sigma }_e^2$为$e$的方差，估计系数的绝对值会小于真实值（Wooldridge, 2012）。

1. 二元选择模型：处理 “是 / 否” 型因变量

当因变量为二元分类（如 “是否就业”“是否违约”）时，线性回归不再适用，需使用 Logit 或 Probit 模型，其核心是 “条件概率的非线性拟合”：

• 条件概率公式：两类模型的条件概率均为$P(y=1|X)=G({\beta }_0+X\beta )$（$G(\cdot )$为链接函数，取值$(0,1)$）：

  • Logit 模型：$G\left(z\right)=\Lambda \left(z\right)=\frac{e^z}{1+e^z}$，导数$g\left(z\right)=\frac{e^z}{(1+e^z{)}^2}$（Wooldridge, 2012）；
  • Probit 模型：$G\left(z\right)=\Phi \left(z\right)={\int }_{-\infty }^z\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-v^2/2}dv$（$\Phi (\cdot )$为标准正态累积分布函数）（Wooldridge, 2012）。

• 边际效应：自变量$x_j$对$P(y=1|X)$的边际效应为$\frac{\partial P(y=1|X)}{\partial x_j}=g({\beta }_0+X\beta )\cdot {\beta }_j$，需通过链接函数的导数$g(\cdot )$计算（Wooldridge, 2012）。

• 估计与拟合度：模型通过极大似然估计（MLE）求解，似然函数为$f(y_i;\beta )=\left[G\right(X_i\beta \left){]}^{y_i}\right[1-G\left(X_i\beta \right){]}^{1-y_i}$；拟合度用 “伪$R^2$” 衡量，公式为$1-\frac{Lur}{Lo}$（$Lur$为模型对数似然值，$Lo$为仅含截距的对数似然值）（Wooldridge, 2012）。

2. 面板数据模型：控制个体异质性

面板数据（如 “多个个体的多年观测”）的核心优势是 “控制不随时间变化的个体异质性”（如个人能力、企业特质），Wooldridge 重点介绍了两类方法：

• 一阶差分法：针对模型$y_{it}={\beta }_0+{\beta }_1{x}_{1it}+{\alpha }_i+u_{it}$（${\alpha }_i$为个体固定效应），对变量取差分（$\Delta y_{it}=y_{it}-y_{i(t-1)}$，$\Delta x_{1it}=x_{1it}-x_{1i(t-1)}$），可消去${\alpha }_i$，得到$\Delta y_{it}={\beta }_1\Delta x_{1it}+\Delta u_{it}$，此时 OLS 估计具有一致性（Wooldridge, 2012）。

• 双重差分（DID）模型：适用于 “2 组 2 期” 的政策评估（如 “处理组 vs 控制组”“政策前 vs 政策后”），模型形式为：

  $y={\beta }_0+{\beta }_{1}post+{\beta }_{2}treat+{\beta }_3(post\times treat)+u$

  其中$post$为政策后虚拟变量（1 = 政策后），$treat$为处理组虚拟变量（1 = 处理组），交互项系数${\beta }_3$即为 “政策效应”，直接反映政策对处理组的净影响（Wooldridge, 2012）。